급으로 나눈 데이터의 통계치

급으로 나눈 데이터의 통계치

2.2.6 급으로 나눈 데이터의 통계치

데이터의 수이 큰 경우에는 데이터를 앞의 예에서의 <표 7-3>과 같이 도수표(도수분포표)로 나누어 정리한 후에 이 표로부터 데이터의 중심적 경향과 산포를 나타내는 각종의 통계치를 구할 수가 있다.

물론 원래의 데이터를 그대로 사용하여 얻은 것과는 차이가 있을 것이나이 충분히 크면 매우 근사한 값이 나오게 된다. 실제로 대부분의 각종 통계표가 도수표와 같은 모양을 가지므로, 급으로 나눈 데이터로부터 평균치, 표준편차와 같은 통계치를 구하는 방법을 알아 둘 필요가 있다.

다음에 도수표로부터 중심적 경향의 측도인 산술평균()과 중앙치()를, 그리고 산포의 측도인 표준편차()를 구하는 방법을 알아보기로 한다.

(1) 산술평균 :

<표 7-3>에서와 같이번째 급의 중앙치를, 도수를라 하고, 급의 수는 모두개가 있다고 가정하면, 산술평균은 다음 공식에 의하여 구한다.

이 공식의 의미는번째 급에 있는개의 데이터는 중앙치를 중심으로 이 구간에서 치우치지 않게 균등하게 분포되어 있어서개 데이터의 평균치를로 간주할 수 있음을 말하여 주고 있다.

앞에서 예로 든 <표 7-3>의 도수표에서와 같이 7개 급으로 분류된개 데이터의 산술평균을 구하여 보면 다음과 같다.

(2) 중앙치 :

급을 사용한 데이터에서 중앙치를 계산하려면 먼저 데이터를 크기 순으로 나열했을 때번째 데이터가 들어 있는 중앙치급을 구하여야 한다. 이 급이번째 급이라고 가정하자. 그러면의 계산공식은

이다. 여기서은 중앙치급의 아랫쪽 경계치이고는 구간폭이다. <표 2-4>로부터 누적도수를 살펴보면 50/2=25번째의 데이터가 4번째의 급구간에 있으므로 중앙치급은 5.25∼5.45이다. 따라서

이므로 중앙치는 다음과 같다.

다음과 같이 급으로 나누어진 도수분포표가 얻어졌다. 40개 데이터의 중앙값(median)을 소수점 이하 한자리까지 구하시오. 〔92 2급〕

〔풀이〕

번째 데이터가 3번째 계급에 있으므로 중앙값은 아래와 같다.

(3) 표준편차 : s

표준편차는 불편분산의 제곱근에 근사하므로 먼저 분산을 구하여 보자. 급의 수가 개 있는 도수분포표에서 분산은 다음 공식에 의하여 구한다.

여기서 는 (7.25)식에 의하여 구한 산술평균이다.

그런데 (7.26)식는 다음과 같이 됨을 보일 수 있으며 이렇게 구하는 것이 계산상 편리하다.

표준편차 s는 에 의하여 얻어진다.

앞에서 예로 든 <표 7-3>에 정리된 데이터의 불편분산은

가 된다. 따라서 표준편차는

가 된다.

(4) 수치변환에 의한 계산

식(7.25)과 식(7.27)식에 의하여 산술평균()과 불편분산()을 계산할 때에 데이터가 큰 값을 갖거나 소숫점을 가지고 있어서 계산이 복잡한 경우에는 다음과 같이 수치변환시켜 계산하는 것이 편리한 경우가 많다. )

여기에서 는 구간의 폭이고는 번째 급의 중앙치이며,는 도수가 비교적 큰 급의 중앙치를 잡아 주는 것이 보통이다. 이 수치변환을 사용하면 식(7.25)는 합의 기호 를 간단히 로 놓을 경우,

가 되고, 식(7.27)은

과 같이 된다.

<표 7-3>에서 4번째 급의 중앙치를로 놓고 (7.30)식과 (7.31)식에 의하여 <표 7-18>과 같은 보조표를 만들어 와 를 계산하여 보면 다음과 같다.

<표 7-18> 와 를 구하기 위한 보조표

출처 : 품질기술사 수험도서 통계적품질관리 출판사 : (주)ATPM컨설팅

저자 : 공학박사/기술사/지도사 권오운

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