1. 서론

복잡한 시스템의 정비문제에 적용되는 최소수리(minimal repair) 하의 예방교체정책은 시스템 운용비용의 최소화를 목표로 한다. 시스템의 운용비용으로는 교체비용과 수리비용을 포함하는데, 예방교체시점의 변화에 따라 상반되는 비용의 증감이 생기게 되므로 이들 관련비용의 합인 총비용을 최소화하는 예방교체시점을 결정하는 것이

필요하다. 수리사용 후 예방교체시점을 결정하고자 한 기존의 주요 연구로써, Barlow와 Hunter[1]는 고장에 대해서 최소수리를 하면서 사용하다가 최적 예방교체시점([eqn: T^* ``])에서 시스템을 예방교체하는 사용시간 기준 모형(time based model)을 제시하였고, Park[4]은 ([eqn: N-1`])번째 고장까지는 최소수리를 하면서 사용하다가 [eqn: N`]번째 고장시점에서 예방교체를 해주는 고장회수 기준 모형(failure numbers based model)을 제시하였다. 이러한 고장회수 기준의 교체정책 모형은 사용시간 기준 모형보다 비용면에서 유리하다고 밝혀졌다[5]. 한편, Nakagawa[2]는 사용시간과 고장회수를 함께 고려한 통합모형을 고려하였다. 즉, 예방교체시점 [eqn: T``]와 한계고장회수 [eqn: N`] 중 먼저 도래하는 시점에서 교체하는 경우의 최적 교체시점([eqn: T^* `],[eqn: N^* `])을 결정하고자 하였다.

본 연구에서는 최소수리 하의 예방교체정책의 기본 모형으로 알려진 이들 세 가지 모형에 대한 연구결과를 정리하고, 교체정책의 실무적용과 관련하여 고찰하고자 한다. 특히 실무 적용시 고려하게 되는 사용 용이성 측면과 경제적 측면에서 각 교체정책 모형의 장단점을 검토하였다. 사용 용이성 측면에서는 해의 도출이 간편하고 해의 실무적용이 용이한가에 대하여 검토하며, 경제적 측면에서는 수명분포의 모수와 비용 모수에 따른 각 교체정책의 기대비용의 변화를 살펴보았다. 또한 현실적으로 각 모수의 추정에는 오류가 포함될 수 있다는 점을 고려하여 모수의 추정오류에 따른 기대비용의 영향정도를 비교분석하였다. 이러한 본 연구는 보전 실무자가 보전정책을 수립하는데 지침을 제공할 수 있을 것이다.

본 연구에서 사용되는 기호는 다음과 같다:

[eqn: T``] : 예방교체시점, [eqn: 0```<``T```<``inf `],

[eqn: N``] : 한계고장회수, [eqn: N``=``1,``2,``3,``cdots`],

[eqn: c_f ,```c_p ,```c_r `] : 1회 수리비용, 예방교체비용,      사후교체비용, [eqn: c_p ```<=``c_r ```<=``c_f `+`c_p `],

[eqn: bar C `] : 단위시간당 기대비용,

[eqn: f`(t`),```F`(t`),```bar F `(t`)``] : 고장시간의 확률밀도      함수, 분포함수, 신뢰도함수,

[eqn: h`(t`),```H`(t`)`] : 고장률, 누적고장률함수,

[eqn: f_n `(t`),```F_n `(t`)`] : [eqn: n`]번째 고장시간의

확률밀도함수, 분포함수,

[eqn: poim(x`;``mu`)`]	[eqn: {e^-mu `mu^x} over {x`!}`],

[eqn: poif(x`,``mu`)`]	[eqn: sum_i=0^x poim(i`,`mu`)`],

[eqn: poifc(x`,``mu`)`]	[eqn: 1-poif(x-1`,``mu`)`].

2. 기존 연구의 내용

2.1 사용시간 기준 모형[1] : 모형 1

[eqn: N_1 (t`)`], [eqn: N_2 (t`)`]를 각각 (0, [eqn: t`])동안의 기대교체회수 및 기대수리회수라 할 때 단위시간당 기대비용은 다음과 같다:

[eqn: bar C ``=`` lim_t→inf {c_p `N_1 (t`) ``+`` c_f `N_2 (t`)`} over t`]. (1)

여기서, 예방교체시점은 재생점(renewal point)이므로 교체주기를 [eqn: T``]라 놓으면, 교체주기동안의 기대교체회수는 1, 기대수리회수는 [eqn: H`(T`)`]가 된다. 따라서, 재생보상(renewal reward)정리를 이용하면, 단위시간당 기대비용은 다음과 같이 쓸 수 있다:

[eqn: bar C `(T`)``=`` {c_p ``+``c_f `H`(T`)`} over T]. (2)

단위시간당 기대비용을 [eqn: T``]에 대하여 1차 미분하여 0이라 놓으면 최적 예방교체시점을 구하기 위한 필요조건을 얻는다. 즉, 다음의 조건을 만족하는 [eqn: T^* `]는 최적 예방교체시점이 될 수 있다.

[eqn: T ``h(T`) ``-`` H`(T`) ``=`` c_p OVER c_f `]. (3)

2.2 고장회수 기준 모형[4] : 모형 3

[eqn: N`]번째 고장 이전의 모든 고장은 최소수리를 하면서 사용하다가 [eqn: N`]번째 고장시점에서 고장난 시스템을 수리하지 않고 교체하게 되므로 [eqn: N`]번째 고장시점은 재생점이 된다. Park[4]은 [eqn: N`]번째 고장시점에서의 시스템교체가 예방교체임을 가정하였으나, 엄격하게 볼 때 [eqn: N`]번째 고장시점은 확률적으로 발생하게 되므로 계획된 시점에서의 예방교체라기보다는 고장발생 후의 사후교체라고 보아야 한다. 사후교체비용을 고려하면 단위시간당 기대비용은 다음과 같이 표현된다:

[eqn: bar C `(N`)``=`` {c_r ``+`` c_f ``(N`-`1`)`} over {int_0^inf t`` f_N`(t`)`dt }]. (4)

단위시간당 비용을 최소화하는 최적 한계고장회수([eqn: N^* `])는 [eqn: bar C `(N`+`1) ``/`` bar C `(N`)` ``>``1`]을 만족하는 최소의 [eqn: N^* `]로 구할 수 있다.

2.3 통합 모형[2] : 모형 3

사용시간과 고장회수 기준 모형의 통합 형태로써, 예방교체시점 또는 한계고장회수 중에서 먼저 도래하는 시점에서 예방교체 또는 사후교체를 해주는 모형이다. Nakagawa는 통합모형에 대한 단위시간당 기대비용식[2, p.115, 식 (1)]을 도출하였는데, 이를 간략히 표현하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[eqn: bar C `(T`,```N`)``=`]

[eqn: left [c_r - (c_r - c_p `)`poif `(N-1`;``H`(T`)`)`]

[eqn: {+`` c_f `sum_n=1^N-1 poifc`(n`;```H`(T`)`)`right]} over {int_0^T `poif`(N-1`;```H`(t`)``dt`}]. (5)

여기서, [eqn: N^* `→`inf `]이면 [eqn: bar C `(T`,```N`)``]는 식 (2)와 같이 되며, [eqn: T^* `→`inf `]이면 식 (4)와 같이 되어, 사용시간 기준 모형과 고장회수 기준 모형을 포함하고 있음을 볼 수 있다. 그러나 최적 교체시점 [eqn: T^* `]와 [eqn: N^* `]를 구하는 것은 간단하지 않으므로 수치탐색에 의해 구할 수 있으며, 유일한 해가 존재한다는 것은 증명되었다.

3. 비교분석

3.1 사용 용이성 측면

사용 용이성 측면에서 교체정책 모형을 비교하기 위해서는 얼마나 쉽게 해(; 교체시점)를 도출할 수 있는가, 그리고 구해진 해를 실무에 적용하기 용이한가의 두 가지 관점을 고려할 필요가 있다. 시스템 고장시간의 확률분포로 신뢰도공학에서 널리 이용되는 Weibull분포를 고려하는 경우에는 사용시간 기준 모형 및 고장회수 기준 모형의 최적 교체시점은 간단히 구해진다. 즉, 시스템 고장시간의 확률분포가 다음의 확률밀도함수를 갖는 Weibull분포를 따른다고 하자:

[eqn: f`(t`)``=`` lambda beta t^beta-1 exp left{-lambda t^beta `right}`], [eqn: t``>``0`].

고장률 및 [eqn: n`]번째 고장시간의 확률분포 등은 다음과 같다[3]:

[eqn: h`(t`)``=`` lambda beta t^beta-1 `],

[eqn: H`(t`)``=`` lambdat^beta `],

[eqn: f_n `(t`)``=`` h`(t`) poim(n-1, H`(t`)`)`],

[eqn: int_0^inf t```f_n `(t`) `dt ``=`` {Gamma`left(n+ 1 over beta right)} over {lambda^{1 over beta} Gamma`(n)}`].

이들 결과를 이용하면, 사용시간 기준 모형의 예방교체시점 [eqn: T^* `]와 고장회수 기준 모형의 한계고장회수 [eqn: N^* `]은 각각 다음과 같이 간단히 구할 수 있으며, 통합 모형에서의 최적 [eqn: N^* `], [eqn: T^* `]는 수치탐색으로 찾을 수 있다:

[eqn: T^* ``=`` left{ c_p over lambda(beta-1)c_f right}^{1 over beta} `], (6)

[eqn: N^* ``=`` left{ {c_r over c_f -1 } over beta-1} right}^-``+``1`]. (7)

(여기서, [eqn: left{ x` right}^- `]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대정수)

고장시간이 일반적인 확률분포(; 정규분포, 대수정규분포 등)를 따르게 된다면, 최적 해를 구하는 문제는 각 모형 모두 간단하지 않게 된다. 그러나 Weibull 수명분포는 모수의 선택에 따라 다양한 확률분포를 표현할 수 있다는 점에서 이러한 결과는 의미가 있다 할 수 있다. 즉, 사용시간 기준 모형 및 고장회수 기준 모형은 비교적 간단한 계산으로 구할 수 있는 반면에, 통합모형은 다소 복잡한 수치탐색 과정을 거쳐야 한다고 할 수 있다.

구해진 해를 실무에 적용하는 경우, 사용시간 기준 모형에서는 미리 정해진 예방교체시점까지 고장이 없으면 사용중인 시스템이더라도 가동을 중지하고 교체하여야 하며, 예방교체시점이 될 때까지 운용시간(또는 운용회수)을 지속적으로 주시하여야 한다. 고장회수 기준 모형에서는 [eqn: N`]번째 고장까지 단지 고장회수를 기억하면 된다는 장점이 있는 것으로 보이지만, ([eqn: N`-`1])번째 고장 이후 [eqn: N`]번째 고장은 확률적으로 발생하기 때문에 [eqn: N`]번째 고장이 언제 발생할지 알 수 없다는 단점이 있다. 그리고 통합모형은 시스템의 운용시간 및 고장회수를 모두 기억하고 있어야 하며, 예방교체시점과 한계고장회수 중에서 어느 것이 먼저 도래하는지 확인해야 한다는 점에서 다른 모형에 비하여 비교적 까다롭다고 볼 수 있다.

3.2 경제적 측면

각 교체정책 모형의 경제적(; 비용) 측면을 비교하기 위해 다음의 모수들을 고려하자:

[eqn: c_f ``=`` 200], [eqn: c_p ``=`` 1000], [eqn: c_r ``=`` 1100],

[eqn: lambda``=``1], [eqn: beta``=`` 3`].

다음의 <그림 1>은 예방교체시점 및 한계고장회수에 따른 통합모형의 단위시간당 비용변화를 나타낸 것이다. 통합모형에서 [eqn: N`]→∞이면 사용시간 기준 모형이 되고 [eqn: T``]→∞이면 고장회수 기준 모형이 됨을 볼 수 있다. 특히, 사용시간 기준 모형에서 구한 최적 교체시점 주위에서는 한계고장회수가 변하더라도 기대비용에는 큰 변화가 없고, 마찬가지로 고장회수 기준 모형에서 구한 최적 한계고장회수 주위에서도 교체시점이 변하더라도 기대비용에는 큰 변화가 없음을 볼 수 있다. 이는 두 가지 교체 기준 중에서 먼저 도래하는 시점에서 교체하는 통합모형의 특성 때문일 것이다.

<그림 1> 단위시간당 기대비용의 변화

각 교체정책별 최적 예방교체시점과 단위시간당 기대비용을 구하면 다음과 같다.

모형 1 :[eqn: T^* ``=``]1.36,[eqn: bar C ``=``]1105.2

모형 2 :[eqn: N^* ``=``]3,[eqn: bar C ``=``]1079.9

모형 3 :[eqn: T^* ``=``]1.6,[eqn: N^* ``=``]3,[eqn: bar C ``=``]1077.0

즉, 통합모형은 단위시간당 비용을 최소화하는 최적 교체정책이 되고, 사용시간 기준 모형은 다른 모형에 비하여 높은 운영비용을 필요로 한다. 그리고 고장회수 기준 모형은 통합모형에 비하여 그다지 뒤지지 않는 것으로 생각된다. 보다 면밀한 비교분석을 위하여 수명분포 및 비용 모수의 변화에 따른 최적 교체시점 및 단위시간당 비용의 변화를 비교해 보자.

먼저, 척도모수 [eqn: lambda`]를 1로 고정시켜도 분포의 일반성을 잃지 않으므로, [eqn: lambda`=`1`]로 놓고 형상모수 [eqn: beta`]의 변화에 따른 해의 변화를 다음의 <표 1>에 나타내었다. [eqn: beta`]가 커짐에 따라 [eqn: t```>``1]에서 고장률은 급격하게 증가하므로 각 모형에서의 예방교체시점은 앞당겨진다는 것을 볼 수 있고, 단위시간당 비용은 증가하는 것을 볼 수 있다. 통합모형이 비용측면에서 최적이 되지만 고장회수 기준 모형의 비용성능도 탁월한 것이라고 평가할 수 있다.

<표 1> [eqn: beta `]에 따른 최적해의 변화

(;[eqn: c_f ``=`` 200],[eqn: c_p ``=`` 1000],[eqn: c_r ``=`` 1100],[eqn: lambda``=``1])

정 책 [eqn: beta `]	사용시간 기준 모형		고장회수 기준 모형		통합모형
	[eqn: T^* `]	[eqn: bar C `]	[eqn: N^* `]	[eqn: bar C `]	[eqn: T^* `]	[eqn: N^* `]	[eqn: bar C `]
1.5	4.6	646	10	632	7.2	9	632
2.0	2.2	894	5	871	3.2	5	871
2.5	1.6	1030	4	1006	2.0	4	1005
3.0	1.4	1105	3	1080	1.6	3	1077
3.5	1.2	1148	2	1124	1.5	2	1122
4.0	1.1	1173	2	1147	1.3	2	1143
4.5	1.1	1188	2	1166	1.2	2	1158
5.0	1.0	1195	2	1180	1.2	2	1168

다음으로 비용모수에 따른 단위시간당 비용의 변화를 알아보자. 먼저 사후교체비용의 변화에 따른 비용의 변화를 다음의 <그림 2>에 나타내었다.

<그림 2> 사후교체비용에 따른 모형별

비용변화 특성

사용시간 기준 모형에서는 사후교체비용을 고려하지 않으므로 교체시점 및 단위시간당 비용에는 변화가 없다. 사후교체비용과 예방교체비용이 같으면 고장회수 기준 모형이 사용시간 기준 모형보다 유리하며, 사후교체비용이 커지게 되면 오히려 사용시간 기준 모형이 유리하다는 것을 알 수 있다. Park[5]의 연구에서 사후교체와 예방교체를 구분하지 않았기 때문에 고장회수 기준 모형이 사용시간 기준 모형보다 비용 효과적이라는 주장을 뒷받침 하지만, 고장회수 기준 모형에서의 교체시점이 확률적으로 발생한다는 점을 고려할 때, 사후교체비용이 커진다면 오히려 사용시간 기준 모형보다 비용측면에서 불리할 수 있다.

예방교체비용의 변화에 따른 단위시간당 비용의 변화는 <그림 3>과 같으며, <그림 2>와 대조를 이룬다.

<그림 3> 예방교체비용에 따른 모형별

비용변화 특성

<그림 2>와 <그림 3>으로부터 통합모형은 항상 최적 교체정책이 되지만, 예방교체비용과 사후교체비용의 크기에 따라 사용시간 기준 모형과 고장회수 기준 모형을 적절히 선택할 수 있다면 그 비용효과는 그다지 크지 않음을 볼 수 있다. 예방교체비용에 비하여 사후교체비용이 상대적으로 커진다면 사용시간 기준 모형을 적용하는 것이, 예방교체비용이 사후교체비용에 근접하게 되는 경우에는 고장회수 기준 모형을 적용하는 것이 사용 용이성 측면에서나 비용효과 측면에서 유리할 수 있을 것이다.

수리비용의 변화에 따른 단위시간당 비용의 변화는 <그림 4>에 나타내었다. 수리비용이 증가함에 따라 각 교체정책의 단위시간당 비용은 증가하지만, 수리비용의 변화가 어느 정도 있더라도 고장회수 기준 모형을 적용하는 것이 비교적 바람직할 것으로 생각된다.

<그림 4> 수리비용에 따른 모형별 비용

변화 특성

한편, 교체정책을 실무에 적용하기 위해서는 시스템의 수명분포와 교체 및 수리에 관련된 비용의 추정이 불가피하다. 이들 모수의 추정은 대부분 적은 양의 데이터와 부정확한 데이터들을 이용할 수밖에 없는 현실 때문에 많은 추정오류를 포함할 수 있다. 따라서, 교체정책의 이론을 실무에 적용하기 위해서는 각 모수들에 대한 추정오류를 감안하여 비교적 추정오류에 영향을 적게 받으면서 비용측면에서 효과적인 정책을 적용하는 것이 바람직할 것이다.

먼저, 수명분포의 척도모수의 역수는 특성수명이 되므로 특성수명의 추정오류에 따른 각 교체정책의 비용변화를 다음의 <그림 5>에 나타내었다. 특성수명의 참값은 1인데, 추정값으로 0.5∼1.5를 사용하는 경우의 모형별 단위시간당 비용을 나타낸 것이다. 고장회수 기준 모형의 교체시점은 척도모수와는 관계없이 결정되기 때문에 특성수명의 추정오류에는 영향받지 않으며, 사용시간 기준 모형에서는 영향을 많이 받

<그림 5> 특성수명(1/[eqn: lambda`])의 추정오류에

따른 모형별 비용변화

는다는 것을 볼 수 있다. 그리고 비용측면에서 고장회수 기준모형은 통합모형에 매우 근접하고, 오히려 통합모형보다 유리할 수 도 있음을 볼 수 있다.

수명분포의 형상모수 [eqn: beta`]의 추정에 오류가 포함되는 경우에 대한 각 교체정책별 비용변화 특성은 다음의 <그림 6>에 나타내었다.

<그림 6> 형상모수([eqn: beta`])의 추정오류에

따른 모형별 비용변화

[eqn: beta`]의 참값은 3인데, 추정된 값을 적용하는 경우의 각 교체정책의 기대비용을 비교한 것이다. 형상모수가 실제보다 작게 추정될수록 예방교체시점 이전에 고장날 가능성이 커지게 되어 기대비용은 급격히 증가하게 되는 것을 볼 수 있다.

<그림 5>와 <그림 6>으로부터 고장회수 기준 모형의 성능은 오히려 통합모형보다도 좋을 수 있다는 것을 볼 수 있는데, 이는 한계고장회수의 결정에서 추정된 수명분포의 특성을 민감하게는 반영하지는 않기 때문으로 해석된다(;식 (7) 참조). 따라서, 수명분포의 모수 추정에 어느 정도 오류가 포함되었으리라 예상되는 경우에는 고장회수 기준 모형을 선택하는 것이 비교적 바람직하다고 할 수 있다.

다음의 <그림 7>은 사후교체비용의 추정오류에 따른 단위시간당 기대비용의 변화를 나타낸 것이다. 사후교체비용의 추정값이 $1000 미만인 경우와 $1200 이상인 경우에는 [eqn: c_p `<= c_r`<=c_f + c_p `]의 제약식으로부터 모형간의 비교가 불가능하다. 즉, 사후교체비용이 $1400 이상이면 고장회수 기준 모형에서는 한계고장시점에서 사후교체하기 보다는 수리한 후 즉시 예방교체하는 것이 더 유리하기 때문이다. 반대로 사후교체비용이 $1000 미만인 경우, 사용시간 기준 모형에서는 수리 및 교체 소요시간이 무시되므로 예방교체보다는 사후교체가 더 유리하기 때문이다. 또한 사용시간 기준 모형에서는 사후교체비용을 고려하지 않으며, 고장회수 기준 모형에서는 비교범위 내에서 한계고장회수의 변화가 없기 때문에 기대비용의 변화가 없음을 볼 수 있다. 결국 비교 가능한 범위 내에서 볼 때, 고장회수 기준 모형이 비교적 우수한 성능을 발휘한다고 할 수 있다.

<그림 7> 사후교체비용의 추정오류에

따른 모형별 비용변화(참값:$1100)

<그림 8>은 예방교체비용의 추정오류에 따른 각 교체정책의 기대비용을 비교 가능한 범위 내에서 나타낸 것이다. 고장회수 기준 모형에서는 예방교체비용을 고려하지 않기 때문에 기대비용의 변화가 없고, 사용시간 기준 모형에서는 예방교체시점의 변화가 미미하기 때문에 기대비용의 변화도 거의 없는 으로 나타났다. 예방교체비용의 추정에 어느 정도의 오류가 포함되더라도 고장회수 기준 모형이 비교적 우수한 성능을 보이고 있다.

<그림 8> 예방교체비용의 추정오류에

따른 모형별 비용변화(참값:$1000)

다음의 <그림 9>는 수리비용의 추정오류에 따른 각 교체정책의 비용변화를 나타낸 것이다. 수리비용이 $100보다 작은 경우에도 고장회수 기준모형을 그대로 적용할 수 없기 때문에 $100 이상을 비교범위로 하였다. 수리비용을 과다하게 추정하는 경우에 고장회수 기준 모형은 통합모형과 유사하게 됨을 볼 수 있다.

<그림 9> 수리비용의 추정오류에 따른

모형별 비용변화(참값:$200)

4. 결론

본 연구에서는 최소수리 하의 예방교체정책의 기본 모형으로 알려진 사용시간 기준 모형과 고장회수 기준 모형, 그리고 사용시간 및 고장회수를 모두 고려한 통합모형에 대한 특성을 비교 분석함으로써, 교체정책을 적용하는 실무자에게 유용한 지침을 주고자 하였다.

통합모형에 있어서 [eqn: N`]→∞이면 사용시간 기준 모형이 되고 [eqn: T``]→∞이면 고장회수 기준 모형이 되며, 사용시간 기준 모형에서 구한 최적 교체시점 주위에서는 한계고장회수가 변하더라도 기대비용에는 큰 변화가 없으며, 마찬가지로 고장회수 기준 모형에서 구한 최적 한계고장회수 주위에서도 교체시점이 변하더라도 기대비용에는 큰 변화가 없음을 볼 수 있었다.

교체정책의 실무적용에 있어서는 사용 용이성과 경제적 측면을 함께 고려해야 하는데, 사용 용이성 측면에서 볼 때, 시스템이 Weibull 수명분포를 따르는 경우에 사용시간 기준 모형과 고장회수 기준 모형은 통합모형에 비하여 교체시점을 도출하는 방법이 간단하며, 해(;교체시점)의 현장 적용에 있어서 고장회수 기준 모형은 단지 고장회수만 기억하면 된다는 점에서 간편한 것이라 할 수 있다.

경제적 측면에서 볼 때, 통합모형은 최적 교체정책이 되기는 하지만 해의 도출 및 적용에 있어서의 복잡함을 상쇄할만한 절대적인 비용우위를 확보하지 못하는 한 예방교체비용 및 사후교체비용의 크기에 따라 사용시간 기준 모형이나 고장회수 기준 모형을 적절히 선택하여 사용하는 것이 효과적일 것이다. 이러한 분석의 결과로부터 고장회수 기준 모형이 사용시간 기준모형보다 경제적 측면에서 항상 우수하다는 기존의 연구 결과는 수정되어야 할 것이다. 즉, 고장회수 기준 모형에서의 교체시점은 확률적으로 발생한다는 점에서 사후교체로 보아야 할 것이다.

한편, 관련 모수의 추정에 있어서 오류의 포함 가능성이 큰 경우에는 고장회수 기준 모형을 선택하는 것이 사용용이성 측면에서나 경제적 측면에서 유리할 것으로 판단된다.

참고문헌

[1] Barlow, R. and Hunter, L., "Optimum Preventive Maintenance Policies," Operations Research, Vol.8, pp.90-100, 1960.

[2] Nakagawa, T., "Optimal Number of Failures before Replacement Time," IEEE Transactions on Reliability, Vol.R-32, No.1, pp.115-116., 1983.

[3] Nakagawa, T. and Kowada, M., "Analysis of a System with Minimal Repair and Its Application to Replacement Policy," European Journal of Operational Research, Vol.12, pp.176-182, 1983.

[4] Park, K.S., "Optimal Number of Minimal Repairs before Replacement," IEEE Transactions on Reliability, Vol.R-28 No.2, pp.137-140, 1979.

[5] Phelps, R.I., "Optimal Policy for Minimal Repair," Journal of Operational Research Society, Vol.34, No.5, pp.425-427, 1983.